Деление с остатком

Операция «mod» и связь со сравнениями

Величина остатка может быть получена бинарной операцией «взятия остатка» от деления a{\displaystyle a} на b{\displaystyle b}, обозначаемой mod:

r=a  mod  b.{\displaystyle r=a~~{\bmod {~}}~b.}

Не следует путать это обозначение с обозначением сравнения по модулю b{\displaystyle b}. Формула для r{\displaystyle r} влечёт выполнение сравнения:

r≡a(modb),{\displaystyle r\equiv a{\pmod {b}},}

однако обратная импликация, вообще говоря, неверна. А именно, это сравнение не подразумевает выполнения неравенства ⩽r<|b|{\displaystyle 0\leqslant r<|b|}, необходимого для того, чтобы r{\displaystyle r} было остатком.

Операция «mod» и связь со сравнениями

Величина остатка может быть получена бинарной операцией «взятия остатка» от деления a{\displaystyle a} на b{\displaystyle b}, обозначаемой mod:

r=a  mod  b.{\displaystyle r=a~~{\bmod {~}}~b.}

Не следует путать это обозначение с обозначением сравнения по модулю b{\displaystyle b}. Формула для r{\displaystyle r} влечёт выполнение сравнения:

r≡a(modb),{\displaystyle r\equiv a{\pmod {b}},}

однако обратная импликация, вообще говоря, неверна. А именно, это сравнение не подразумевает выполнения неравенства ⩽r<|b|{\displaystyle 0\leqslant r<|b|}, необходимого для того, чтобы r{\displaystyle r} было остатком.

Делимость натуральных чисел. Деление с остатком. Признаки делимости

Делимость натуральных чисел. Деление с остатком

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Говорят, что натуральное число   a   делится на натуральное число   b ,   если существует такое натуральное число   c,   что выполняется равенство

a = bc .

В противном случае говорят, что число   a   не делится на число   b.

Число   b   называют делителем числа   a.

Если число   a   больше, чем число   b,   и не делится на число   b,   то число   a   можно разделить на число   b   с остатком.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Деление числа   a   на число   b   с остатком означает, что найдутся такие натуральные числа   c   и   r ,   что выполняются соотношения

a = bc + r,    r < b .

Число   b   называют делителем, число   c   – частным, а число   r   – остатком от деления   a   на   b .

Еще раз особо подчеркнем, что остаток   r   всегда меньше, чем делитель   b .

Например, число   204   не делится на число   5 ,   но, разделив число   204   на   5   с остатком, получаем:

Таким образом, частное от деления равно   40 ,   а остаток равен   4 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Числа, делящиеся на   2 ,   называют четными, а числа, которые не делятся на   2 ,   называют нечетными.

Признаки делимости

Для того, чтобы быстро выяснить, делится ли одно натуральное число на другое, существуют признаки делимости.

Признак делимости на 2

Формулировка признака: Число должно оканчиваться четной цифрой:0 , 2 , 4 , 6 , 8 Пример: 1258

Признак делимости на 3

Формулировка признака: Сумма цифр числа должна делиться на   3 Пример: 745 ,(7 + 4 + 5 = 15)

Признак делимости на 4

Формулировка признака: Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на   4 Пример: 7924

Признак делимости на 5

Формулировка признака: Число должно оканчиваться цифрой     или   5 Пример: 835

Признак делимости на 6

Формулировка признака: Число должно делиться на   2   и на   3 Пример: 234 ,(2 + 3 + 4 = 9)

Признак делимости на 7

Формулировка признака: На   7   должно делиться число, полученное вычитанием удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой Пример: 3626 , (362 – 12 = 350)

Признак делимости на 8

Формулировка признака: Число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на   8 Пример: 63024

Признак делимости на 9

Формулировка признака: Сумма цифр должна делиться на   9 Пример: 2574 , (2 + 5 + 7 + 4 = 18)

Признак делимости на 10

Формулировка признака: Число должно оканчиваться   Пример: 169

Признак делимости на 11

Формулировка признака: Сумма цифр, стоящих на четных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на   11 Пример: 1408 ,(4 + 8 = 12 ; 1 + 0 = 1 ;12 – 1 = 11)

Признак делимости на 13

Формулировка признака: На   13   должно делиться число, полученное добавлением учетверенной последней цифры к исходному числу с отброшенной последней цифрой Пример: 299 , (29 + 36 = 65)

Признак делимости на 25

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на   00 ,  25 ,  50   или   75 Пример: 7975

Признак делимости на 50

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на   00   или   50 Пример: 2957450

Признак делимости на 100

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на   00 Пример: 102300

Признак делимости на 1000

Формулировка признака: Число должно оканчиваться на   000 Пример: 3217000

Дорогой препарат,но с побочными эффектами

Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком

Равенство a=b·c+d позволяет находить неизвестное делимое a, если известны делитель b, неполное частное c и остаток d. Рассмотрим пример.

Пример.

Чему равно делимое, если при его делении на целое число −21 получилось неполное частное 5 и остаток 12?

Решение.

Нам требуется вычислить делимое a, когда известен делитель b=−21, неполное частное c=5 и остаток d=12. Обратившись к равенству a=b·c+d, получаем a=(−21)·5+12. Соблюдая порядок выполнения действий, сначала проводим умножение целых чисел −21 и 5 по , после чего выполняем : (−21)·5+12=−105+12=−93.

Ответ:

−93.

Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком также выражаются равенствами вида b=(a−d):c, c=(a−d):b и d=a−b·c. Эти равенства позволяют вычислять делитель, неполное частное и остаток соответственно. Нам часто придется находить остаток от деления целого числа a на целое число b, когда известны делимое, делитель и неполное частное, используя формулу d=a−b·c. Чтобы в дальнейшем не возникало вопросов, разберем пример вычисления остатка.

Пример.

Найдите остаток от деления целого числа −19 на целое число 3, если известно, что неполное частное равно −7.

Решение.

Для вычисления остатка от деления воспользуемся формулой вида d=a−b·c. Из условия имеем все необходимые данные a=−19, b=3, c=−7. Получаем d=a−b·c=−19−3·(−7)=−19−(−21)=−19+21=2 (разность −19−(−21) мы вычисляли по ).

Ответ:

2.

Определение

Оставаясь строго в рамках натуральных чисел, приходится различать деление с остатком и деление нацело, поскольку нулевой остаток не является натуральным числом; кроме того, неполное частное при делении меньшего числа на большее должно равняться нулю, что тоже выводит за рамки натуральных чисел. Все эти искусственные ограничения неоправданно усложняют формулировки, поэтому в источниках обычно либо рассматривается расширенный натуральный ряд, включающий ноль, либо теория сразу формулируется для целых чисел, как указано выше.

Для вычисления неполного частного от деления a{\displaystyle a} на положительное число b{\displaystyle b} следует разделить (в обычном смысле) a{\displaystyle a} на b{\displaystyle b} и округлить результат до ближайшего целого в меньшую сторону:

q=⌊ab⌋,{\displaystyle q=\left\lfloor {\frac {a}{b}}\right\rfloor ,} когда b>{\displaystyle b>0}.

где полускобки ⌊⋅⌋{\displaystyle \left\lfloor \cdot \right\rfloor } обозначают взятие целой части. Значение неполного частного q{\displaystyle q} позволяет вычислить значение остатка r{\displaystyle r} по формуле:

r=a−b⋅q.{\displaystyle r=a-b\cdot q.}

Для отрицательного делителя нужно округлять частное в большую сторону:

q=⌈ab⌉,{\displaystyle q=\left\lceil {\frac {a}{b}}\right\rceil ,} когда b<{\displaystyle b<0}.

Как делить столбиком

Допустим, нам нужно разделить  780  на  12,  записываем действие в столбик и приступаем к делению:

Деление столбиком выполняется поэтапно. Первое, что нам требуется сделать, это определить неполное делимое. Смотрим на первую цифру делимого:

это число  7,  так как оно меньше делителя, то мы не можем начать деление с него, значит нужно взять ещё одну цифру из делимого, число  78  больше делителя, поэтому мы начинаем деление с него:

В нашем случае число  78  будет неполным делимым, неполным оно называется потому, что является всего лишь частью делимого.

Определив неполное делимое, мы можем узнать сколько цифр будет в частном, для этого нам нужно посчитать, сколько цифр осталось в делимом после неполного делимого, в нашем случае всего одна цифра —  0,  это значит, что частное будет состоять из  2  цифр.

Узнав количество цифр, которое должно получиться в частном, на его месте можно поставить точки. Если при завершении деления количество цифр получилось больше или меньше, чем указано точек, значит где-то была допущена ошибка:

Приступаем к делению. Нам нужно определить сколько раз  12  содержится в числе  78.  Для этого мы последовательно умножаем делитель на натуральные числа  1, 2, 3, …,  пока не получится число максимально близкое к неполному делимому или равное ему, но не превышающее его. Таким образом мы получаем число  6,  записываем его под делитель, а из  78  (по правилам вычитания столбиком) вычитаем  72  (12 · 6 = 72).  После того, как мы вычли  72  из  78,  получился остаток  6:

Обратите внимание, что остаток от деления показывает нам, правильно ли мы подобрали число. Если остаток равен делителю или больше него, то мы не правильно подобрали число и нам нужно взять число побольше

К получившемуся остатку —  6,  сносим следующую цифру делимого —  0.  В результате, получилось неполное делимое —  60.  Определяем, сколько раз  12  содержится в числе  60.  Получаем число  5,  записываем его в частное после цифры  6,  а из  60  вычитаем  60  (12 · 5 = 60).  В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит  780  разделилось на  12  нацело. В результате выполнения деления столбиком мы нашли частное — оно записано под делителем:

780 : 12 = 65.

Рассмотрим пример, когда в частном получаются нули. Допустим нам нужно разделить  9027  на  9.

Определяем неполное делимое — это число  9.  Записываем в частное  1  и из  9  вычитаем  9.  В остатке получился нуль. Обычно, если в промежуточных вычислениях в остатке получается нуль, его не записывают:

Сносим следующую цифру делимого —  0.  Вспоминаем, что при делении нуля на любое число будет нуль. Записываем в частное нуль  (0 : 9 = 0)  и в промежуточных вычислениях из  0  вычитаем  0.  Обычно, чтобы не нагромождать промежуточные вычисления, вычисление с нулём не записывают:

Сносим следующую цифру делимого —  2.  В промежуточных вычислениях вышло так, что неполное делимое  (2)  меньше, чем делитель  (9).  В этом случае в частное записывают нуль и сносят следующую цифру делимого:

Определяем, сколько раз  9  содержится в числе  27.  Получаем число  3,  записываем его в частное, а из  27  вычитаем  27.  В остатке получился нуль:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит число  9027  разделилось на  9  нацело:

9027 : 9 = 1003.

Рассмотрим пример, когда делимое оканчивается нулями. Пусть нам требуется разделить  3000  на  6.

Определяем неполное делимое — это число  30.  Записываем в частное  5  и из  30  вычитаем  30.  В остатке получился нуль. Как уже было сказано, нуль в остатке в промежуточных вычислениях записывать не обязательно:

Сносим следующую цифру делимого —  0.  Так как при делении нуля на любое число будет нуль, записываем в частное нуль и в промежуточных вычислениях из  0  вычитаем  0:

Сносим следующую цифру делимого —  0.  Записываем в частное ещё один нуль и в промежуточных вычислениях из  0  вычитаем  0.  Так как в промежуточных вычислениях, вычисление с нулём обычно не записывают, то запись можно сократить, оставив только остаток —  0.  Нуль в остатке в самом конце вычислений обычно записывают для того, чтобы показать, что деление выполнено нацело:

Так как в делимом больше не осталось цифр, значит  3000  разделилось на  6  нацело:

3000 : 6 = 500.

Алгоритм деления в столбик

Деление в столбик проходят в третьем классе. Столбик применяют, когда требуется разобраться с большим числом, а калькулятора под рукой нет. Правда, в современной жизни это вряд ли случится, разве что на необитаемом острове. Но на всякий случай навык стоит иметь. Тем более что его наличие предусмотрено программой для учеников.

Для того, чтобы ребенок понимал, как разделить столбик, ему сначала придется освоить таблицу умножения, ну или хотя бы как ею пользоваться. Начать решать столбиком без знания таблицы умножения все равно что проходить высшую математику без освоения программы средней школы. Такие попытки измучают и ребенка и родителей.

Алгоритм, как объяснить ребенку деление в столбик правильно:

• нарисовать форму столбика,
• написать с левой стороны от столбика число, которое будут делить (делимое),
• написать с правой стороны от столбика число, на которое будут делить (делитель),
• попробовать разделить на делитель первую цифру в делимом (используют таблицу умножения),
• если получилось, то результат записывают под вертикальной чертой,
• если нет, берут первые две цифры и число, которые они составляют, делят на делитель, записывают результат под вертикальной чертой,
• если первые две цифры делятся с остатком, остаток записать под второй цифрой, и приписывают к нему следующую цифру делителя,
• получившееся число снова делят на делимое, и остаток выписывают снизу, приписывая к нему следующую цифру от верхнего числа,
• действия повторяют до тех пор, пока цифры не закончатся,
• если цифры кончились, и остались еще какие-то цифры, которые не делятся на делимое, значит делитель не делится без остатка.

Если число не делится без остатка, в нем являются дроби. Если ребенок в классе их еще не приходил, не следует применять такие числа. Лучше научить на тех, где результат позволит ребенку почувствовать, что он полностью сделал правильно. Для этого последние цифры должны делиться на делимое без остатка.

В программировании

Операция вычисления неполного частного и остатка в различных языках программирования

Язык	Неполноечастное	Остаток	Знак остатка
ActionScript			Делимое
Ada			Делитель
	Делимое
Бейсик			Не определено
Си (ISO 1990)		Не определено
Си (ISO 1999)		Делимое
C++ (ISO 2003)		Не определено
C++ (ISO 2011)		Делимое
C#		Делимое
ColdFusion			Делимое
Common Lisp			Делитель
		Делимое
D		Делимое
Delphi			Делимое
Eiffel			Делимое
Erlang			Делимое
Euphoria			Делимое
Microsoft Excel (англ.)			Делитель
Microsoft Excel (рус.)
FileMaker			Делитель
Fortran			Делимое
		Делитель
GML (Game Maker)			Делимое
Go		Делимое
Haskell			Делитель
		Делимое
J			Делитель
Java		Делимое
		Делитель (1.8+)
JavaScript			Делимое
Lua			Делитель
Mathematica			Делитель
MATLAB			Делитель
		Делимое
MySQL			Делимое
Oberon			+, если делитель >0
Objective Caml			Не определено
Pascal			Делимое
Perl	Нет		Делитель
PHP	Нет		Делимое
PL/I			Делитель (ANSI PL/I)
Prolog (ISO 1995)			Делитель
PureBasic		Делимое
Python			Делитель
QBasic			Делимое
R			Делитель
RPG			Делимое
Ruby			Делитель
Scheme			Делитель
SenseTalk			Делитель
	Делимое
Tcl			Делитель
Verilog (2001)			Делимое
VHDL			Делитель
	Делимое
Visual Basic			Делимое

Нахождение остатка от деления часто используется в компьютерной технике и телекоммуникационном оборудовании для создания контрольных чисел и получении случайных чисел в ограниченном диапазоне, например в конгруэнтном генераторе случайных чисел.

Обозначения операции взятия остатка в различных языках программирования представлены в таблице справа.
Например, в Паскале операция вычисляет остаток от деления, а операция осуществляет целочисленное деление, при котором остаток от деления отбрасывается:

78 mod 33 = 12
78 div 33 = 2

Знак остатка

Важно отметить, что операция взятия остатка в языках программирования может возвращать отрицательный результат (для отрицательного делимого или делителя). Тут есть два варианта:

• Знак остатка совпадает со знаком делимого: неполное частное округляет к нулю.
• Знак остатка совпадает со знаком делителя: неполное частное округляет к −∞.

Если в языке есть оба типа остатков, каждому из них соответствует своя операция неполного частного. Обе операции имеют жизненный смысл.

• Есть сумма n копеек, положительная или отрицательная. Перевести её в рубли и копейки. — и . Знак остатка совпадает со знаком делимого.
• Есть бесконечное клеточное поле, каждая клетка — 16×16 пикселей. В какую клетку попадает точка (x, y), и каковы координаты относительно верхнего левого угла клетки? — и соответственно. Знак остатка совпадает со знаком делителя.

Как запрограммировать, если такой операции нет?

Неполное частное можно вычислить через деление и взятие целой части: q=ab{\displaystyle q=\left} (, в зависимости от задачи, может быть «полом» или усечением). Однако деление здесь получается дробное, которое намного медленнее целого. Такой алгоритм используется в языках, в которых нет целых типов (отдельные электронные таблицы, программируемые калькуляторы и математические программы), а также в скриптовых языках, в которых издержки интерпретации намного превышают издержки дробной арифметики (Perl, PHP).

При отсутствии команды остаток программируется как a−qb{\displaystyle a-qb}.

Если b положительно, а знак r совпадает со знаком делимого, не определён или неизвестен, для нахождения минимального неотрицательного остатка можно воспользоваться формулой r′=(b+(amod⁡b))mod⁡b{\displaystyle r’=(b+(a\operatorname {mod} b))\operatorname {mod} b}.

Противопоказания

Аналоги препарата

Порошок и капли Линекс имеют ряд аналогов с одинаковым составом, к ним относятся:

• Бифиформ капсулы – для того, чтобы дать лекарство малышу, следует вскрыть капсулу и высыпать ее содержимое в чайную ложку, предварительно добавив несколько капель охлажденной кипяченой воды или материнского молока;
• Биогая флаконы с белым порошком для приготовления суспензии;
• Ацилакт – выпускается в форме свечек для ректального использования, при попадании суппозитории в кишечник полезные бактерии активизируются и нормализуют микрофлору, губительно воздействуя на условно-патогенные микроорганизмы;
• Энтерол – выпускается в форме капсул для приема внутрь или в виде саше-пакетиков, внутри которых высушенные лакто и бифидобактерии. Перед использованием препарата необходимо предварительно развести порошок небольшим количеством воды;
• Лактофильтрум – таблетки для приема внутрь, которые помимо своего основного терапевтического действия (нормализации микрофлоры кишечника и заселения его полезными бифидобактериями) всасывают из кишечника токсические вещества, аллергены, соли тяжелых металлов, и естественным образом выводят их с каловыми массами;
• Бифидумбактерин – капсулы, внутри которых содержится порошок из высушенных молочных бактерий;
• Хилак форте – выпускает во флаконах из темного стекла, лекарство необходимо хранить вдали от попадания прямых солнечных лучей и не допускать нагревания флакона. Препарат имеет кислый вкус, что не очень нравится малышам, поэтому разовую дозу лекарства следует немного разводить водой;.

Большинство этих лекарств можно применять детям с первых дней жизни, но перед началом терапии обязательно следует уточнить у врача разрешенную дозу.

Определение понятий

Так же, как и в сложении и вычитании, где есть слагаемые и вычитаемые, в делении и умножении тоже есть свои термины.

1. Делимое — это число, которое делят.
2. Делитель — то, на которое делят.
3. Отношение — это результат деления делимого на делитель. Его также можно назвать частным.

Для прохождения этой темы также потребуется понимание термины умножения.

1. Множимое — это первое число, до знака умножения.
2. Множитель — это второе, после знака «умножить».
3. Произведение — это результат умножения.

Множимое и множитель могут меняться местами, и результат от этого не изменится. В делении такое невозможно, результат изменится

Это важно донести до ребенка

Деление столбиком если делимое меньше делителя

Как разделить столбиком, если делитель больше делимого!

Пример №1.(В1.)

Предположим, что вам нужно разделить 4 на 5.

Располагаем стандартно наши числа слева делимое, справа делитель.

Ясно, что делитель больше делимого 5 > 4.

Поэтому, рядом с число 4 пишем ноль(выделено зеленым) и одновременно, этот же ноль записываем под делителем и добавляем точку.

Проверяем 40 делится на 5 — делится. 40 : 5 = 8, восемь записываем под черту, 40 пишем под делимым.

Отнимаем 40 — 40 = 0.

Итого получаем, что если разделить 4 на 5, то получим 0.8 — ноль целых восемь десятых.

Пример №2.(В2.)

Разберем второй пример :

Предположим, что нам нужно разделить 4 на 50.

Располагаем стандарно, наши числа для деления столбиком.

Ясно, что 4 меньше 50.

Пишем ноль рядом с 4, и одновременно ноль пишем под чертой ставим точку.

Проверяем, делится ли 40 на 50 — нет! Значит, добавляем еще один ноль. И его же добавляем после точки.

Далее аналогичные действия, что производили в первом варианте.

Примечания

1. Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. М.: Наука, 1981, 560 с., С. 9.
2. ISO/IEC 9899:TC2: When integers are divided, the result of the operator is the algebraic quotient with any fractional part discarded. ; в списке изменений 1999→TC1 и TC1→TC2 данное изменение не числится.
3. ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages — C++, 5.6.4: International Organization for Standardization, International Electrotechnical Commission, 2003. «the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined».
4. N3242=11-0012 (Working draft), текст совпадает с C99
5. К. Арнолд, Дж. Гослинг, Д. Холмс. Язык программирования Java. — 3-е изд. — М., СПб., Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0.
6. Стандарт 1973 года: div — division with truncation.

Обобщения

Вещественные числа

Если два числа a{\displaystyle a} и b{\displaystyle b} (отличное от нуля) относятся к множеству вещественных чисел, a{\displaystyle a} может быть поделено на b{\displaystyle b} без остатка, и при этом частное также является вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом, в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным.

Формально:

если a,b∈R,b≠{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,b\neq 0}, то a=bq+r{\displaystyle a=bq+r}, где ⩽r<|b|{\displaystyle 0\leqslant r<|b|}

Пример

Деление 7,9 на 2,1 с остатком даёт:

⌊7,92,1⌋=3{\displaystyle \left\lfloor {\frac {7{,}9}{2{,}1}}\right\rfloor =3} (неполное частное)

7,9−3⋅2,1=1,6{\displaystyle 7{,}9-3\cdot 2{,}1=1{,}6} (остаток)

Гауссовы целые числа

Гауссово число — это комплексное число вида a+bi{\displaystyle a+bi}, где a,b{\displaystyle a,b} — целые числа. Для них можно определить деление с остатком: любое гауссово число u{\displaystyle u} можно разделить с остатком на любое ненулевое гауссово число v{\displaystyle v}, то есть представить в виде:

u=vq+r{\displaystyle u=vq+r}

где частное q{\displaystyle q} и остаток r{\displaystyle r} — гауссовы числа, причём |r|<|v|.{\displaystyle |r|<|v|.}
Однако, в отличие от целых чисел, остаток от деления определяется неоднозначно. Например, 7+2i{\displaystyle 7+2i} можно разделить на 3−i{\displaystyle 3-i} тремя способами:

7+2i=(3−i)(2+i)+i=(3−i)(1+i)+3=(3−i)(2+2i)+(−1−2i){\displaystyle 7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i)}

Многочлены

При делении с остатком двух многочленов f(x){\displaystyle f(x)} и g(x){\displaystyle g(x)} для однозначности результата вводится условие: степень многочлена-остатка должна быть строго меньше степени делителя:

f(x)=q(x)g(x)+r(x){\displaystyle f(x)=q(x)g(x)+r(x)\quad }, причём deg⁡(r)<deg⁡(g).{\displaystyle \quad \deg(r)<\deg(g).}

Пример

2×2+4x+5x+1=2x+2{\displaystyle {\frac {2x^{2}+4x+5}{x+1}}=2x+2} (остаток 3), так как 2x² + 4x + 5 = (x + 1)(2x + 2) + 3

Деление с остатком

Деление с остатком подразумевает, что нацело число поделить не удалось и осталась какая-то часть, которая меньше делителя и которую разделить нельзя.

Где это может пригодиться в реальной жизни? Представим себе вполне реальную ситуацию: мы покупаем в магазине конфеты батончики по 38 рублей. Всего у нас 200 рублей, сколько сдачи нам должны дать?

Очевидно, что ровное количество конфет купить не получится, поскольку 200 на 38 нацело не поделится, но и конфету пилить в магазине не будут. Значит, остаток от 200 нам должны будут вернуть в виде сдачи.

$200:38=5 (ост.10)$ – именно 10 рублей остатка и будут сдачей, которую нам должны вернуть.

Долгое время только такие вычисления и производились, до тех пор, пока не возникла надобность в точных расчетах. Тогда на смену делению с остатком пришли десятичные дроби.

Как объяснить ребенку деление столбиком?

Как объяснить ребенку деление столбиком?

Во время домашних дополнительных занятий можно пользоваться шпаргалками, но ребенок должен выучить таблицу умножения, прежде чем, приступать к теме «Деление».

Итак, как объяснить ребенку деление столбиком:

• Постарайтесь сначала объяснить на маленьких цифрах. Возьмите счетные палочки, например, 8 штук
• Спросите у ребенка, сколько пар в этом ряду палочек? Правильно — 4. Значит, если разделить 8 на 2, получится 4, а при делении 8 на 4 получится 2
• Пусть ребенок сам разделит другое число, например, более сложное: 24:4
• Когда малыш освоил деление простых чисел, тогда можно переходить к делению трехзначных чисел на однозначные

Деление с остатком целых положительных чисел, примеры

Как мы уже не раз отмечали, целые положительные числа представляют собой натуральные числа. Поэтому деление с остатком целых положительных чисел проводится по всем правилам деления с остатком натуральных чисел

Очень важно уметь с легкостью выполнять деление с остатком натуральных чисел, так как именно оно лежит в основе деления не только целых положительных чисел, но и в основе всех правил деления с остатком произвольных целых чисел.

С нашей точки зрения наиболее удобно выполнять деление столбиком, этот способ позволяет получить и неполное частное (или просто частное) и остаток. Рассмотрим пример деления с остатком целых положительных чисел.

Пример.

Выполните деление с остатком числа 14 671 на 54.

Решение.

Выполним деление данных целых положительных чисел столбиком:

Неполное частное получилось равным 271, а остаток равен 37.

Ответ:

14 671:54=271 (ост. 37).

Теоретический материал

Алгебра

Глава 2. Целые числа

2.4. Деление с остатком

Ученик

Ха! Но ведь не всегда можно разделить нацело! И что тогда?

Учитель

Деление на множестве всех целых чисел выполнимо не всегда. Например, результаты деления или — числа нецелые. Поэтому возникает необходимость наряду с действием деления ввести и другое, обобщающее его действие, которое всегда выполнимо на , а в случае выполнимости — действие деления совпало бы с ним.

Ученик

Это же просто очевидно!

Учитель

Таким действием является деление с остатком.

Определение

Разделить целое число на целое число с остатком — это значит найти такие два целых и , которые удовлетворяют следующим условиям:1) ;2) .

Учитель

Число называют полным или неполным частным в зависимости от того, равно ли нулю или нет; называют остатком от деления на .

Ученик

А всегда ли можно разделить на с остатком? А будут ли числа и определены однозначно?

Учитель

О! Это уже серьёзные вопросы! Вообще говоря, ответ на них положительный! Но этот ответ даёт одна из важнейших теорем арифметики целых чисел, которую называют теоремой о делении с остатком.

Теорема

Каковы бы ни были целое число и целое число , всегда возможно, и притом единственным способом, разделить на с остатком.

Доказательство.

Докажем вначале возможность деления с остатком. Пусть — любое целое число. Тогда, в зависимости от знака , рассмотрим два случая. 1) — положительное число. Рассмотрим множество всех целых чисел, которые делятся на , расположив их в порядке возрастания: . В такой последовательности чисел всегда найдется наибольшее, которое делится на и не превосходит . Пусть для определенности такое число . Тогда, . Учитывая тот факт, что неравенство не нарушается, если к каждой из его частей прибавить (вычесть) одно и то же число, получим, если вычтем . Приравняв , имеем , где — целые числа. Следовательно, деление выполнимо.2) — отрицательное число. Так как , то и деление на выполнимо. Это означает, что существуют такие целые числа и , что и . Но тогда и . Обозначим, получаем , и выполнимость деления с остатком доказана.

Докажем единственность деления с остатком.

Предположим, что на делится неединственным образом. Тогда существует две пары целых чисел и , такие что и . Значит, и поэтому (*). Так как и , то . Поскольку и — целые числа, то равенство (*) возможно только в случае, когда , т.е. . Но , и, следовательно, или . Итак, , и единственность деления с остатком доказана.

Ученик

В общем-то это всё понятно, но пара примеров не помешала бы!

Учитель

Разумеется. Но здесь далеко не всё так просто, и требует большой внимательности. Сейчас ты это увидишь! Итак примеры. Разделим с остатком!!!

а) на ;

В данном случае . Значит, , и поэтому неполное частное , остаток .

б) на ;

Выполняя деление обычным способом, убеждаемся, что и , .

в) на ;

Для выполнения деления с остатком воспользуемся примером б). Поменяв в равенстве из б) знаки, получим: . Но, учитывая, что , прибавим и вычтем модуль делителя правой части равенства: , неполное частное , остаток .

г) на ;

В равенстве из б) поменяем одновременно знаки и делимого, и делителя: и получим неполное частное , а остаток .

д) на

Решаем аналогично, как в), с той лишь разницей, что знак минус соотнесем к частному, а не к делителю:.

Неполное частное , остаток .

Учитель

Ну что, видно, что не всё так просто, как кажется с первого взгляда?

Ученик

Да, действительно надо быть очень внимательным.

Учитель

Самостоятельно найди:1) остаток от деления 268737 на 11 ;2) неполное частное от деления 8946523 на 4.

Пигментация и коричневые пятна

Теорема о делимости целых чисел с остатком

Когда мы говорили о делении натуральных чисел с остатком, то выяснили, что делимое a, делитель b, неполное частное c и остаток d связаны между собой равенством a=b·c+d. Для целых чисел a, b, c и d характерна такая же связь. Эта связь утверждается следующей теоремой о делимости с остатком.

Теорема.

Любое целое число a возможно представить единственным образом через целое и отличное от нуля число b в виде a=b·q+r, где q и r – некоторые целые числа, причем .

Доказательство.

Сначала докажем возможность представления a=b·q+r.

Если целые числа a и b такие, что a делится на b нацело, то по определению существует такое целое число q, что a=b·q. В этом случае имеет место равенство a=b·q+r при r=0.

Теперь будем считать, что b – целое положительное число. Выберем целое число q таким образом, чтобы произведение b·q не превышало числа a, а произведение b·(q+1) было уже больше, чем a. То есть, возьмем q таким, чтобы выполнялись неравенства b·q<a<b·(q+1). После вычитания из всех частей этого неравенства произведения b·q приходим к неравенствам вида 0<a−b·q<b. Так как значение выражения a−b·q положительно и не превышает b (b – положительное число), то это значение можно принять в качестве r, то есть, r=a−b·q. Откуда получаем нужное представление числа a вида a=b·q+r.

Осталось доказать возможность представления a=b·q+r для отрицательных b.

Так как модуль числа b в этом случае является положительным числом, то для имеет место представление , где q₁ – некоторое целое число, а r – целое число, удовлетворяющее условиям . Тогда, приняв q=−q₁, получаем нужное нам представление a=b·q+r для отрицательных b.

Переходим к доказательству единственности.

Предположим, что помимо представления a=b·q+r, q и r – целые числа и , существует еще одно представление a=b·q₁+r₁, где q₁ и r₁ – некоторые целые числа, причем q₁≠q и .

После вычитания из левой и правой части первого равенства соответственно левой и правой части второго равенства, получаем 0=b·(q−q₁)+r−r₁, которое равносильно равенству r−r₁=b·(q₁−q). Тогда должно быть справедливо и равенство вида , а в силу свойств модуля числа — и равенство .

Из условий и можно сделать вывод, что . Так как q и q₁ – целые и q≠q₁, то , откуда заключаем, что . Из полученных неравенств и следует, что равенство вида невозможно при нашем предположении. Поэтому, не существует другого представления числа a, кроме a=b·q+r.

Общие сведения

Практически любую арифметическую операцию возможно выполнить в столбик. Для каждой существуют определенные правила или методики. Деление осуществляется нацело и с остатком. Последнее применяется в различных языках программирования при конструировании условий.

Допустим, требуется разработать пагинацию (дробление страниц на части). Она применяется, когда на веб-странице предстоит разместить только часть информации для комфортного чтения, а другие данные перемещаются на следующую. Для примера следует разместить 101 товар по 10 на каждой странице.

Всего получается 10 страниц по 10 записей и одна, на которой расположен один товар. Последний является остатком, то есть 101/10=10 (+1).

Остаток — результат операции деления, представленный в виде определенного значения и препятствующий целочисленному значению. В описанном примере 101/10=10 (+1) величина 1 препятствует делению 101 на 10, а вот 100/10=10. Чтобы делить с остатком, нужно знать таблицу умножения, признаки делимости и алгоритм для осуществления этой операции.

Правила целочисленного частного

В учебнике советского математика Виленкина Наума Яковлевича, одобренном Федеральными государственными образовательными стандартами (ФГОС), можно найти правила делимости нацело одного значения на другое. К ним относятся следующие:

На единицу и эквивалентное значение делится любая величина.
Только четные значения, последний разряд которых заканчивается на цифры 2, 4, 6, 8, 0, могут делиться на двойку.
Если сумма всех элементов разрядной сетки делится на тройку, то значит частное при делении на это значение будет целым.
На четверку можно разделить величину, у которой сумма разрядов единиц и десятков делится на четыре.
Условие деления на 5 — разряд единиц эквивалентен 0 или 5.
Чтобы разделить искомое значение на шесть, необходимо соблюдение сразу двух условий (второго и третьего).
Для деления величины, количество разрядов которой превышает 7, на семерку необходимо руководствоваться таким методом: разбить на группы-триады (по три), а затем просуммировать. Сумма должна делиться на 7. Если количество цифр не превышает 7, то нужно отсеять последний единичный элемент, и отнять от искомого числа удвоенный последний компонент. Результат должен делиться на 7.
Условием деления величины на восьмерку является одновременное выполнение второго и четвертого правил.
Чтобы разделить значение на 9, необходимо сложить все компоненты разрядной сетки. Результирующая величина при этом должна быть целочисленным значением.
Когда последний разряд равен нулю, тогда число делится на 10.

Однако седьмое правило может показаться не совсем понятным для начинающих математиков. В этом случае необходимо разобрать более подробно его реализацию на примере числа 754231897. Решение выполняется таким образом:

Разбить на триады начиная от единиц: 754 | 231 | 897.
Сложить элементы в группах: 18+6+24=48.
Результат, полученный на втором шаге, не делится на 7 по таблице умножения (49/7=7 и 56/7=8).